因果性导论

[[Casual Inference]]

简单的符号体系

我们把  定义为为单位 i 是否接受处理（treatment）的变量。

$$T_{i}= \begin{cases} 1 & \text{if i accepts} \\ 0 & otherwise \end{cases}$$

此处所说的“处理”指的是我们希望探究其效果的某种干预措施的术语。在本例中，该处理即为向学生发放平板电脑。

为了真正理解这个问题，我们将频繁使用 潜在结果这一概念进行讨论。

它们之所以称为潜在，是因为它们实际上并未发生，而是代表了在采取某种干预措施后 可能发生的情况。我们有时将实际发生的潜在结果称为事实性结果，而未发生的则称为反事实结果。

关于符号，我们引入一个额外的下标：

$$Y_{0i} \text{i doesn't deal}$$ $$Y_{1i} \text{i deals}$$

在定义了潜在结果之后，我们就可以写出个体处理效应 当然，由于“因果推断的基本难题”（只能观测其中一个潜在结果），我们永远无法直接知道某个个体的处理效应。所以，与其去估计每个个体的因果效应，不如转而去估计一个更容易的量：平均处理效应（Average Treatment Effect, ATE）： ATE = $E[Y_{1i}-Y_{0i}]$ 另一个更易估计的量是对已接受处理者的平均处理效应（Average Treatment Effect on the Treated, ATT）： AEE = $E[Y_{i}-Y_{0}|T=1]$ example:

i	Y0	Y1	T	Y	TE
0	1	500	450	0	500	-50
1	2	600	600	0	600	0
2	3	800	600	1	600	-200
3	4	700	750	1	750	50

偏误

偏误正是使“相关性 ≠ 因果性”的关键原因。 如果我们用“潜在结果”的符号来表达这一点：接受处理的学校的 （即如果它们没发平板时 的成绩）与 未接受处理学校的 （真实的无平板成绩）是不同的。要记住，处理组的 是反 事实（counterfactual），我们无法观察到它，只能推理它。

数学推导

相关性的计算 方式是 结果的相减，$E[Y|T=1]-E[Y|T=0]$,观察结果对象的差异导致了=$E[Y_{1}|T=1]-E[Y_{0}|T=0]$ 在我们的例子中，这表示拥有平板电脑的学校平均测试分数减去没有平板电脑的学校平均测试分数。而因果关系的正确计算方式是$E[Y_{1}-Y_{0}]$.拆箱天香后 $E[Y|T=1] - E[Y|T=0] = E[Y_1 - Y_0|T=1] + {E[Y_0|T=1] - E[Y_0|T=0]}$ 前面是ATT，后面项是Bias 若${E[Y_0|T=1] - E[Y_0|T=0]}$=0，Bias为0，即相关性=因果性意味着处理组与对照组在处理前具有可比性 left：ATE，right，Bias reason